GEOMETRIA PLANA III BIMESTRE - 1ºS ANOS EREMMVM

ÂNGULO

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.

Componentes de um ângulo

• Semi-retas - são os lados do ângulo.
• Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se encontram.
• Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns.

Unidades de medidas para ângulos

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

• A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

• O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

• O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°....

• O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente de s por r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variavel k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Medindo sem transferidor

Há um meio de calcular o grau de um ângulo sem transferidor, sendo ele:

1. Faça um triângulo reto com altura e largura de mesma medida. Exemplo: altura de 5 cm e largura de 5 cm, chamaremos de "A" o ponto de origem do ângulo reto, "B" o ponto mais alto do triângulo em relação a "A" e de "C" o ponto mais largo em relação a "A".
2. Calcule o valor do segmento BC (hipotenusa).
3. Agora pegue o ângulo na qual você quer saber o grau e calcule o valor de BC.
4. Multiplique o valor de BC por 90 e divida pela hipotenusa do ângulo reto que você fez no 1º passo. O valor é o grau do ângulo.

Observação: os calculos não serão exatos se as medidas do triângulo não foram exatas. Pode-se colocar a seguinte fórmula para facilitar a conta: Ga=90Lt/h.

Tipos de ângulos

Quanto ao ângulo

Ângulo agudo

Ângulo reto

Ângulo obtuso

Ângulo raso

Ângulo giro ou ângulo completo

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

• Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
• Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
• Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
• Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
• Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
• Côncavo ou Reentrante: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
• Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.

O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...

Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).

• Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

• Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

• Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).

Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

• Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

• Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

• Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

• Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro

Expressão popular

Angulo também pode significar o local no gol, em futebol, que se pode ver os 90° da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo", é a expressão exata da jogada.