quinta-feira, 4 de novembro de 2010

POLINÔMIOS 3ºS. ANOS – IV BIMESTRE

Definição
Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma   (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por
§  um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
§  uma variável, que na equação é representada por x; e
§  um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que   e o termo   torna-se simplesmente a.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... a1x + a0
A função constante, P(x) = c, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear P(x) = ax + b.

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão: 

a0 xn  +  a1 xn – 1 +  a2 xn -2  + ... +  an – 1 x + an 

A função polinomial será definida por: 

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
Com: 
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n   N. 

 Valor numérico de um polinômio 

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x. 
Então, se dissermos que x = 
2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio. 

P(
2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22  2 + 2 

P(
2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2 

P(
2) = 80 – 24 + 4 

P(
2) = 56 + 4 

P(
2) = 60 

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando 
x = 2 será P(2) = 60. 

 Raiz ou zero do polinômio 

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando 
x = b. 

Exemplo: 

P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então: 

x2 - 1 = 0 
x2 = 1 
x = + 1 ou - 1 

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1. 


 Grau de um polinômio 

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo: 

• P(x) = x3 - x2 + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele. 

P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau. 

• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.