POLINÔMIOS 3ºS. ANOS – IV BIMESTRE

Definição

Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma   (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por

§  um coeficiente, que na equação acima é representado por a;

§  uma variável, que na equação é representada por x; e

§  um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que   e o termo   torna-se simplesmente a.

Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ... + a₁x + a₀

A função constante, P(x) = c, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear P(x) = ax + b.

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão: 

a₀ xⁿ  +  a₁ x^{n – 1} +  a₂ x^{n -2}  + ... +  a_{n – 1} x + a_n 

A função polinomial será definida por: 

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n

Com: 
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n são números complexos e n   N. 

• Valor numérico de um polinômio 

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x. 
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio. 

P(2) = 5 . 2⁴ – 3 . 2³ + 2² – 2 + 2 

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2 

P(2) = 80 – 24 + 4 

P(2) = 56 + 4 

P(2) = 60 

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, quando 
x = 2 será P(2) = 60. 

• Raiz ou zero do polinômio 

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x³ + 5x² – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando 
x = b. 

Exemplo: 

P(x) = x² - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então: 

x² - 1 = 0 
x² = 1 
x = + 1 ou - 1 

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x² - 1. 


• Grau de um polinômio 

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo: 

• P(x) = x³ - x² + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x³, então o polinômio tem o mesmo grau que ele. 

P(x) = x³ - x² + 2x -3 é do 3º grau. 

• P(x) = 5x⁰ = 5 → grau zero.