EQUAÇÃO DA RETA - GEOMETRIA ANALÍTICA

Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x₁, y₁) e (x₂, y₂) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da matriz é completada com o algarismo 1. Vamos aplicar esses conceitos na obtenção da equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8), veja:

Ponto A temos que: x₁ = 1 e y₁ = 2
Ponto B temos que: x₂ = 3 e y₂ = 8
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)

Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus significa:

1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.

2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.

3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.

4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária.

Observe todos os passos na resolução da matriz dos pontos da reta:

[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0
[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0
8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
–6x + 2y + 2 = 0

Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 2 = 0.

Exemplo 2

Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).

[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
–3x – y – 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.

REVISÃO TRIGONOMETRIA PARA OS FERAS EREMMVM

SSA FASE 3 UPE 2012 COMENTADA

ESPERO QUE TENHAM ALCANÇADO O SUCESSO! 

RUMO AO TRADICIONAL!!!

AULÃO PRÉ ENEM 2012

FERAS EREMMVM! DICAS PRA SEMANA PRÉ-ENEM

Enem: anote a agenda para os 5 dias O que fazer nesse período?

·         Ponto de partida (29/11) 5 dias reservados para curar o "MEDO" do Enem.

Mãos à obra!

SEGUNDA-FEIRA

QUANDO CHEGAR EM CASA DEPOIS DO AULÃO

Bom banho, alimente-se e...Revisão!!!Sugestão de assuntos

- Desenvolvimento sustentável (ciências humanas)

- Separação de mistura/estado físico da matéria (ciências da natureza) 
- Análise de gráficos e análise combinatória (matemática)

- Gêneros e suas características (linguagens)
PARA FINALIZAR A NOITE
- Simulado (2 horas para responder 40 questões)

TERÇA-FEIRA

QUANDO CHEGAR EM CASA DEPOIS DO AULÃO

Bom banho, alimente-se e...Revisão!!!

Sugestão de assuntos
- Diversidade cultural (ciências humanas)

- Termologia (ciências da natureza)

- Funções e equações (matemática)

- Sentido denotativo e conotativo (linguagens) 

PARA FINALIZAR A NOITE

- Procure ver um filme relacionado a assuntos do Enem

QUARTA-FEIRA

MANHÃ

Sugestão de assuntos
- História da América Latina (ciências humanas)

- Biotecnologia (ciências da natureza)

- Percentagem e estatística (matemática)

- Intertextualidade (linguagens)

TARDE

Sugestão de assuntos
- A influência da cultura de massa (ciências humanas)

- Radioatividade (ciências da natureza)

- Regra de três e Juros (matemática)

- Sentido do vocábulo no texto (linguagens)

NOITE

Sugestão de assuntos
- Geopolítica (ciências humanas)

- Ecologia (ciências da natureza)

- Geometria Espacial e Plana (matemática)

- Figuras de linguagem (linguagens) 

QUINTA-FEIRA

2 horas de estudo diário para um dos quatro eixos de conhecimento do Enem;

2 horas de revisão do conteúdo visto
Sugestão de assuntos
- Escassez de água no planeta (ciências humanas)

- Química aplicada ao dia a dia (ciências da natureza)

- Geometria espacial e Probabilidade (matemática)

- Variações linguísticas (linguagens)

NOITE

- Leia uma Revista Semanal

SEXTA-FEIRA

Dia de lazer. Relaxe durante o dia e invista numa boa noite de sono.

·         Ponto de chegada (02/11) 

BOA MARATONA!

DESAFIO VALE CONVITE AULÃO DA GLOBO

Um cone de revolução é um cone obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Considerando um triângulo retângulo de lados 3m, 4m e 5m, qual o volume do cone de revolução obtido pela rotação em torno do menor cateto?

AULA PRÁTICA - GEOMETRIA ESPACIAL

PARABÉNS 2º ANO YELLOW PELA PARTICIPAÇÃO NA AULA PRÁTICA DE CONSTRUÇÃO DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DIRECIONADA 

BRINCADEIRA DE REGRA DE TRÊS SIMPLES - 1º ANOS EREMMVM

 ATENÇÃO ALUNOS DOS 1ºs. ANOS AMARELO, AZUL, BRANCO, LARANJA, ROSA, VERDE, VERMELHO:

REGRA DA BRINCADEIRA:

• Procure a questão abaixo que corresponde ao seu número da chamada e a transcreva em um papel, responda-a, coloque todos os seus argumentos explicativos, inclusive os cálculos (Por mais si que sejam) e me entregue até o dia 24 de Agosto.
• Questão Correta, soma ponto na Unidade.
• Tente responder todas as questões, fique 'afiado', me chame para explicar algumas e fique livre do Teste de MATEMÁTICA FINANCEIRA.

BONS ESTUDOS!!!

QUESTÕES DA BRINCADEIRA:

1.    Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?

2.    Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana. 

3.    Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos. Caso queira construir um muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão necessários?

4.    Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?

5.    8 metros de tecido custam R$ 200. Quanto custam 12 metros desse mesmo tecido?

6.    Desejo ler um livro de Física de 240 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 10 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o meu querido livro de Física?

7.    4 torneiras abertas enchem um tanque em 1 hora e 10 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 40 minutos?

8.    Um navio partiu do porto do SUAPE para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar seus 20 tripulantes durante 30 dias. Logo após a partida do navio, percebeu-se a presença de 4 tripulantes clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos? 

9.    Para transportar certo volume de minério foram utilizados 30 minivagões carregados com 10 metros cúbicos de minério cada um. Adquirindo-se minivagões com capacidade para 12 metros cúbicos de minério, quantos vagões destes seriam necessários para fazer tal serviço?

10.  Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas? 

11.  Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta?

12.  Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede? 

13.  Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? 

14.  Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira?

15.  Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 

16.  Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas?

17.  Certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite?

18.  Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140 km/h?

19.  Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m³ cada um. Quantos caminhões de 3m³ seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?

20.  Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto? 

21.  Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio?

22.  A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida? 

23.  Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra?

24.  Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página?

25.  Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

  

26.  Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta? 

27. Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? 

28. Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho?

29. Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? 

30. Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? 

31. Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? 

32. Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? 

33. Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? 

34.  Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? 

35. Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? 

36.  Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? 

37. Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obtiver 7 kg de farinha? 

38. Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? 

39. Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora? 

40. Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? 

41. Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Quantos alfinetes ela fabricará em 7 horas? 

42. Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? 

43. Oito operários fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa?

44. Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? 

45. Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? 

46. Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? 

47. Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro?

48. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?

ATIVIDADE REGRA DE TRÊS COMPOSTA

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?(R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias?(R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).

11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

14) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura? (R: 3 latas)

15) Três máquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 máquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia (R: 6 dias ) 

16) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gatam 4 horas. Para produzir 15 camisas, 4 máquinas quantas horas gastam? (R: 6 horas)

17) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão produzidas por 12 operários em 6 dias ? (R: 5 peças)

18) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 Kg de ração, Em quantos dias 15 cachorros consumirão 75 kg de ração ? (R: 14 dias)

FICHA TREINO 3ºS ANOS III BIMESTRE

Exercícios Propostos

01.  O centro e o raio da circunferência de equação 

x² + y² + 4x – 2y = 3 é:

a) (2,–1) e        b) (2,–1) e     c) (–2,1) e     

d) (–2,1) e     e) n.d.a

02. A equação da circunferência de centro C(2,3) e que passa pelo ponto P(4,5) é:

a) x² + y² = 9         b) x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0 

c) x² + y² – 4x – 6y + 4 = 0

d) x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0                e) n.d.a

03. A circunferência de centro (– 1,– 2) e raio 3 tem por equação:

a) x² + y² – 2x – 4y = 4         b) x² + y² + 2x + 4y – 4 = 0        

c) x² + y² 2x + 4y + 4 = 0 

d) x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0                        e) x² + y² + 2x + 4y – 9 = 0

04. O centro e o raio da circunferência de equação  

(x – 2)² + (y + 1)² = 2 é:

a) (2,1) e 2         b) (2,–1) e 2      c) (–2, –1) e 2    

d) (–2,1) e 2     e) n.d.a

05. Obtenha os valores de k para que o ponto P(k,2) pertença a 

circunferência de equação: x² + y² + 2x – 4y – 1 = 0.

POLIEDROS DE PLATÃO - 2ºs ANOS

GALERA DOS 2ºS ANOS...

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FICHA 1 - III BIMESTRE - 1ºs ANOS

Exercícios de regra de três simples

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? 

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho? 

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga? 

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? 

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0, 750 kg dessa mesma substância? 

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio?  

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia? 

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons? 

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km? 

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume? 

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias? 

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos? 

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade? 

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?  

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico? 

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km? 

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento? 

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina? 

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio? 

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m?  

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?